Question

6．已知數列{a_n}滿足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N^*，且a₅=$\frac{π}{2}$若函數f（x）=sin2x-2sin²$\frac{x}{2}$，記y_n=f（a_n）則數列{y_n}的前9項和為-9．

Answer 1

分析 由已知遞推式得到數列{a_n}為等差數列，再由a₅=$\frac{π}{2}$得到a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅=π，利用二倍角余弦把f（x）化簡，由三角函數的和差化積求得答案．

解答 解：∵數列{a_n}滿足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N^*，
∴數列{a_n}是等差數列，
∵a₅=$\frac{π}{2}$，∴a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅=π，
∵f（x）=sin2x-2sin²$\frac{x}{2}$，
∴f（x）=sin2x+cosx-1，
∴f（a₁）+f（a₉）=sin2a₁+cosa₁-1+sin2a₉+cosa₉-1
=2sin（a₁+a₉）cos（a₁-a₉）+2$cos\frac{{a}_{1}+{a}_{9}}{2}cos\frac{{a}_{1}-{a}_{9}}{2}$-2
=2sinπ•cos（a₁-a₉）+2cos$\frac{π}{2}$cos$\frac{{a}_{1}-{a}_{9}}{2}$-2=-2．
同理f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=-2
∵f（a₅）=-1，
∴數列{y_n}的前9項和為-9．
故答案為：-9．

點評 本題考查了等差關系的確定，考查了二倍角余弦公式的應用，訓練了三角函數值的求法，是中檔題．