Question

16．已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），若直線y=k（x-2）上至少存在三個(gè)點(diǎn)P，使得△MNP是直角三角形，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． [-5，5]
• B． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]
• C． [-$\frac{1}{3}$，0）∪（0，$\frac{1}{3}$]
• D． [-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]

Answer 1

分析 k=0時(shí)，M、N、P三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，故k≠0，然后分三種情況分析，即∠PMN，∠PNM，∠MPN為直角，若△MNP是直角三角形，由直徑對的圓周角是直角，知直線和以MN為直徑的圓有公共點(diǎn)即可，由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：當(dāng)k=0時(shí)，M、N、P三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，
∴k≠0，
如圖所示，
△MNP是直角三角形，有三種情況：
當(dāng)M是直角頂點(diǎn)時(shí)，直線上有唯一點(diǎn)P₁點(diǎn)滿足條件；
當(dāng)N是直角頂點(diǎn)時(shí)，直線上有唯一點(diǎn)P₃滿足條件；
當(dāng)P是直角頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)至少有一個(gè)點(diǎn)P滿足條件．
由直徑對的圓周角是直角，知直線和以MN為直徑的圓有公共點(diǎn)即可，
則$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}≤1$，解得-$\frac{\sqrt{3}}{3}≤k≤\frac{\sqrt{3}}{3}$，且k≠0．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}，0$）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．