Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，M為AA₁中點，求：
（1）求證：平面C₁MB⊥平面B₁C₁MB；
（2）平面C₁MB與平面ABC所成二面角（銳角）的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取BC₁的中點F，證明MF⊥平面B₁C₁CB，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面C₁MB⊥平面B₁C₁MB；
（2）連接DB，C₁B，可證∠C₁BC就是平面C₁MB與平面ABC所成二面角的平面角，在三角形C₁BC中求出此角．

解答： 解：（1）證明：取BC₁的中點F，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，M為AA₁中點，
MB=MC₁，∴MF⊥BC1，MF⊥BB₁，BB₁∩BC₁=B，
∴MF⊥平面B₁C₁CB，MF?平面MBC₁，
∴平面C₁MB⊥平面B₁C₁MB．
（2）連接DB，C₁B，
則DB就是平面C₁MB與平面ABC的交線在△DCB中，
∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°，
∴CB⊥DB，
又C₁C⊥平面CBD，
由三垂線定理得C₁B⊥DB，∴∠C₁BC就是平面C₁MB與平面ABC所成二面角的平面角（銳角），
∵側(cè)面C₁B₁BC是正方形，∴∠C₁BC=45°，
故平面C₁MB與平面ABC所成的二面角（銳角）為45°．

點評：本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、棱柱等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．