Question

17．在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立直角坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ=2acosθ（a∈R），過點P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)）．
（1）若曲線C和直線l有公共點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若直線l與曲線C分別交于M，N兩點，且|PM|•|MN|•|PN|成等比數(shù)列，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)極坐標與直角坐標的對應關(guān)系得出直角坐標方程；
（2）將直線參數(shù)方程代入曲線直角坐標方程，利用參數(shù)的幾何意義和根與系數(shù)的關(guān)系求出|PM|，|PN|，|MN|，列出方程解出a．

解答 解：（1）∵ρ=2acosθ，∴ρ²=2aρcosθ，∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²=2ax，即（x-a）²+y²=a²．
直線l的直角坐標方程為x-y-2=0．
當a=0時，曲線C表示點（0，0），顯然點（0，0）不在直線l上．
當a≠0，圓C的半徑r=|a|，圓C的圓心（a，0）到直線l的距離d=$\frac{|a-2|}{\sqrt{2}}$．
∵曲線C和直線l有公共點，∴$\frac{|a-2|}{\sqrt{2}}$＜|a|，解得a＜-2$\sqrt{2}$-2或a$＞2\sqrt{2}-2$．
∴當曲線C和直線l有公共點時，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2$\sqrt{2}-2$）∪（2$\sqrt{2}-2$）．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入x²+y²=2ax得：t²-（6+a）$\sqrt{2}$t+20+4a=0，
∴t₁+t₂=（6+a）$\sqrt{2}$，t₁t₂=20+4a．
∴|PM||PN|=|t₁t₂|=20+4a，|MN|=|PM-PN|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}+8a-8}$．
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，
∴|PM||PN|=|MN|²，
即20+4a=2a²+8a-8，
解得a=-1+$\sqrt{15}$或a=-1-$\sqrt{15}$．

點評 本題考查了極坐標方程，參數(shù)方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．