【題目】記.
(1)求方程的實(shí)數(shù)根;
(2)設(shè),,均為正整數(shù),且為最簡(jiǎn)根式,若存在,使得可唯一表示為的形式,試求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo);
(3)已知,是否存在,使得成立,若存在,試求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)2(2),.(3)不存在.見解析
【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)方程,求解即可;(2)要求橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo),應(yīng)先求的值,因?yàn)?/span>,由二項(xiàng)展開可得,這里,,為了得到,先得,相乘得,再結(jié)合條件,進(jìn)而可求得,可得結(jié)果;
(3)不存在,使得成立,即證對(duì)任意,都有,由條件可得即證在下,不等式恒成立.
方法一,當(dāng)時(shí),不等式恒成立易證;當(dāng),且時(shí),用二項(xiàng)式定理展開,然后縮小可證不等式恒成立;方法二,用數(shù)學(xué)歸納法證明;方法三,由已知可設(shè),由可得,將不等式的左邊化簡(jiǎn)為
,利用二項(xiàng)式定理展開縮小可證。
解:(1)由得,
∵,∴
∴,即所求方程的實(shí)數(shù)根為2.
(2)因?yàn)?/span>為最簡(jiǎn)根式,且,,,所以由二項(xiàng)展開可得
,這里,,
則.
兩式相乘得.
即,
現(xiàn)由,
又依題意得:,便知,
知由(*)得,即.
因此,橢圓方程為,
故,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,.
(3)不存在.
只須證:對(duì)任意,都有.
證明如下,由
可得,
注意到
,
故亦只須證:在下,
不等式恒成立.
方法一:∵,,
∴由已知可得從而.
當(dāng)時(shí),因,,
故成立.
當(dāng),且時(shí),
…
.
綜上,對(duì)一切成立.
方法二:∵,,
∴,從而,
因此
(i)當(dāng)時(shí),因,,
故成立.
(ii)假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式成立,即
那么,當(dāng)時(shí),注意到,,故
,
即成立,這就是說,當(dāng)時(shí),不等式也成立.
綜上所述,不等式對(duì)一切成立.
方法三:由已知可設(shè),由可得,
注意到,
從而,
,
因此,不等式對(duì)一切均成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,設(shè).
(Ⅰ)若在處取得極值,且,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若時(shí)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、.
①求的取值范圍;②求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,平面ABCD,四邊形AEFB為矩形,,,.
(1)求證:平面ADE;
(2)求平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求橢圓的極坐標(biāo)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,,為線段的中點(diǎn),為線段上的一點(diǎn).
(1)證明:平面平面.
(2)若,二面角的余弦值為,求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面為直角梯形,,且,,,平面底面,為的中點(diǎn),為等邊三角形,是棱上的一點(diǎn),設(shè)(與不重合).
(1)當(dāng)時(shí),求三棱錐的體積;
(2)若平面,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,為坐標(biāo)原點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn),,分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),且,,依次成等比數(shù)列,其離心率為.過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)時(shí),求直線的方程;
(3)在平面直角坐標(biāo)系中,若存在與點(diǎn)不同的點(diǎn),使得成立,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一大批產(chǎn)品,其驗(yàn)收方案如下,先做第一次檢驗(yàn):從中任取8件,經(jīng)檢驗(yàn)都為優(yōu)質(zhì)品時(shí)接受這批產(chǎn)品,若優(yōu)質(zhì)品數(shù)小于6件則拒收;否則做第二次檢驗(yàn),其做法是從產(chǎn)品中再另任取3件,逐一檢驗(yàn),若檢測(cè)過程中檢測(cè)出非優(yōu)質(zhì)品就要終止檢驗(yàn)且拒收這批產(chǎn)品,否則繼續(xù)產(chǎn)品檢測(cè),且僅當(dāng)這3件產(chǎn)品都為優(yōu)質(zhì)品時(shí)接受這批產(chǎn)品.若產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為0.9.且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立.
(1)記為第一次檢驗(yàn)的8件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù),求的期望與方差;
(2)求這批產(chǎn)品被接受的概率;
(3)若第一次檢測(cè)費(fèi)用固定為1000元,第二次檢測(cè)費(fèi)用為每件產(chǎn)品100元,記為整個(gè)產(chǎn)品檢驗(yàn)過程中的總費(fèi)用,求的分布列.
(附:,,,,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐,平面平面ABE,四邊形ABCD為矩形,,F為CE上的點(diǎn),且平面ACE.
(1)求證:;
(2)設(shè)M在線段DE上,且滿足,試在線段AB上確定一點(diǎn)N,使得平面BCE,并求MN的長.
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