Question

6．已知實(shí)數(shù)x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{2x-y-3≥0}\end{array}\right.$，在區(qū)間（0，5）內(nèi)任取兩數(shù)a、b．則目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最小值大于2$\sqrt{5}$的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)求出z=ax+by的最小值，然后根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
∵0＜a＜5，0＜b＜5，∴直線的斜率$-\frac{a}＜0$，
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$的截距最小，此時(shí)z最最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{2x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（2，1），即z的最小值為z=2a+b，
若2a+b＞2$\sqrt{5}$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜5}\\{0＜b＜5}\end{array}\right.$，∴作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則2a+b＞2$\sqrt{5}$對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)槲暹呅蜝CDEF，
則正方形OCDE的面積S=5×5=25，
當(dāng)a=0時(shí)，由2a+b=2$\sqrt{5}$，得b=2$\sqrt{5}$，即B（0，2$\sqrt{5}$），
當(dāng)b=0時(shí)，由2a+b=2$\sqrt{5}$，得a=$\sqrt{5}$，即B（$\sqrt{5}$，0），
則△OBF的面積S=$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=5，
則五邊形BCDEF的面積S=25-5=20，
則對(duì)應(yīng)的概率P=$\frac{20}{25}$=$\frac{4}{5}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃以及幾何概型的概率的計(jì)算，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域求出目標(biāo)函數(shù)的最小值是解決本題的關(guān)鍵．