Question

9．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=（-$\frac{1}{4}$）ⁿ+k．
（1）求k的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}|\frac{{a}_{n}}{5}|•lo{g}_{2}|\frac{{a}_{n+1}}{5}|}$，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時利用a_n=S_n-S_n-1計算可知a_n=-$\frac{5}{4}$•（-$\frac{1}{4}$）^n-1，通過數(shù)列{α_n}為等比數(shù)列計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知$|\frac{{a}_{n}}{5}|$=$\frac{1}{{4}^{n}}$，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n=（-$\frac{1}{4}$）ⁿ+k，
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-$\frac{1}{4}$）ⁿ-（-$\frac{1}{4}$）^n-1=-$\frac{5}{4}$•（-$\frac{1}{4}$）^n-1，
∵數(shù)列{α_n}為等比數(shù)列，
∴-$\frac{1}{4}$=$\frac{-\frac{5}{4}•（-\frac{1}{4}）}{-\frac{1}{4}+k}$，解得：k=-1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=-$\frac{5}{4}$•（-$\frac{1}{4}$）^n-1；
（2）由（1）可知：$|\frac{{a}_{n}}{5}|$=$\frac{1}{{4}^{n}}$，
則b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}|\frac{{a}_{n}}{5}|•lo{g}_{2}|\frac{{a}_{n+1}}{5}|}$=$\frac{1}{（-2n）（-2n-2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，裂項(xiàng)、并項(xiàng)相加是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．