Question

16．設(shè)x＞0，若f（x）=x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$-x（cosθ+1）-$\frac{2}{x}$（sinθ+1）≥M恒成立，則實(shí)數(shù)M的取值范圍是（-∞，2-2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 先根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，得到f（x）≥x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}}$-（x+$\frac{2}{x}$），令t=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}}$≥$\sqrt{4}$=2，構(gòu)造函數(shù)g（t）=t²-t-$\sqrt{{t}^{2}+4}$，t≥2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)求出g（t）的最小值，問(wèn)題得以解決．

解答 解：f（x）=x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$-x（cosθ+1）-$\frac{2}{x}$（sinθ+1）≥=x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$-xcosθ-$\frac{2}{x}$sinθ-x-$\frac{2}{x}$=x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}}$cos（θ+φ）-（x+$\frac{2}{x}$）≥x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}}$-（x+$\frac{2}{x}$），
∵f（x）≥M恒成立，
即f（x）_min≥M，
令t=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}}$≥$\sqrt{4}$=2，
∴g（t）=t²-t-$\sqrt{{t}^{2}+4}$，t≥2，
∴g′（t）=2t-1-$\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}+4}}$=（2-$\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+4}}$）t-1
∴g′（2）=（2-$\frac{1}{2\sqrt{2}}$）×2-1=3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，
∴g（t）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
即g（t）_min=2²-2-2$\sqrt{2}$=2-2$\sqrt{2}$，
∴f（x）_min=2-2$\sqrt{2}$，當(dāng)t=2時(shí)，x=$\sqrt{2}$時(shí)，cos（θ+φ）=1時(shí)取等號(hào)，
∴實(shí)數(shù)M的取值范圍是（-∞，2-2$\sqrt{2}$]，
故答案為：（-∞，2-2$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立的問(wèn)題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)求出函數(shù)的最值，培養(yǎng)克學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，運(yùn)算能力，屬于中檔題．