Question

8．已知$|{\begin{array}{l}{cos75°}&{-sinα}\\{sin75°}&{cosα}\end{array}}|=\frac{1}{3}$，則cos（30°+2α）=$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 由二階行列式展開式得到cos（75°-α）=$\frac{1}{3}$，再由誘導公式得cos（30°+2α）=cos[180°-2（75°-α）]，由此利用二倍角公式能求出結果．

解答 解：∵$|{\begin{array}{l}{cos75°}&{-sinα}\\{sin75°}&{cosα}\end{array}}|=\frac{1}{3}$，
∴cos75°cosα+sin75°sinα=cos（75°-α）=$\frac{1}{3}$，
cos（30°+2α）=cos[180°-2（75°-α）]
=-cos[2（75°-α）]
=-[2cos²（75°-α）-1]
=-[2×$\frac{1}{9}$-1]
=$\frac{7}{9}$．
故答案為：$\frac{7}{9}$．

點評 本題考查三角函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意二階行列式展開式、誘導公式、倍角公式的性質的合理運用．