Question

16．如圖（1）示，在梯形BCDE中，BC∥DE，BA⊥DE，且EA=DA=AB=2CB=2，如圖（2）沿AB將四邊形ABCD折起，使得平面ABCD與平面ABE垂直，M為CE的中點(diǎn)．

（Ⅰ） 求證：BC∥面DAE；
（Ⅱ） 求證：AM⊥BE；
（Ⅲ） 求點(diǎn)D到平面BCE的距離．

Answer 1

分析 （1）由BC∥DA，能證明BC∥面DAE．
（2）推導(dǎo)出DA⊥平面ABE，CB⊥平面ABE，取EB的中點(diǎn)N，連接AN、MN，則MN∥BC，由此能證明AM⊥BE．
（3）以A為原點(diǎn)，AE為x軸，AB為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)D到平面BCE的距離．

解答 證明：（1）∵在梯形BCDE中，BC∥DE，∴BC∥DA
∵BC?面DAE，DA?面DAE，
∴BC∥面DAE．
（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，由已知條件可知，
DA⊥AB，AB⊥BC，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴DA⊥平面ABE，CB⊥平面ABE．
取EB的中點(diǎn)N，連接AN、MN，
在△ABE中，∵AE=AB，N為EB的中點(diǎn)，
∴AN⊥BE．在△EBC中，
∵EM=MC，EN=NB，∴MN∥BC，
又∵CB⊥平面ABE，
∴MN⊥平面ABE，∴MN⊥BE．
又∵AN∩MN=N，∴BE⊥平面AMN，
又∵AM?平面AMN，∴AM⊥BE．
解：（3）以A為原點(diǎn)，AE為x軸，AB為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得：D（0，0，2），B（0，2，0），C（0，2，1），E（2，0，0），
$\overrightarrow{BD}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{BC}$=（0，0，1），$\overrightarrow{BE}$=（2，-2，0），
設(shè)平面BCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=2x-2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
∴點(diǎn)D到平面BCE的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．