Question

13．設(shè)集合M={1，2，3，…，n}（n≥3），記M的含有三個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)為S_n，同時(shí)將每一個(gè)子集中的三個(gè)元素由小到大排列，取出中間的數(shù)，所有這些中間的數(shù)的和記為T_n．
（1）求$\frac{{T}_{3}}{{S}_{3}}$，$\frac{{T}_{4}}{{S}_{4}}$，$\frac{{T}_{5}}{{S}_{5}}$，$\frac{{T}_{6}}{{S}_{6}}$的值；
（2）猜想$\frac{{T}_{n}}{{S}_{n}}$的表達(dá)式，并證明之．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的定義求出即可，
（2）猜想$\frac{{T}_{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{n+1}{2}$．用數(shù)學(xué)歸納法證明之．

解答 解：（1）當(dāng)n=3時(shí)，M={1，2，3），S₃=1，T₃=2，$\frac{{T}_{3}}{{S}_{3}}$=2，
當(dāng)n=4時(shí)，M={1，2，3，4），S₄=4，T₄=2+2+3+3=10，$\frac{{T}_{4}}{{S}_{4}}$=$\frac{5}{2}$，
$\frac{{T}_{5}}{{S}_{5}}$=3，$\frac{{T}_{6}}{{S}_{6}}$=$\frac{7}{2}$
（2）猜想$\frac{{T}_{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{n+1}{2}$．
下用數(shù)學(xué)歸納法證明之．
證明：①當(dāng)n=3時(shí)，由（1）知猜想成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，猜想成立，
即$\frac{{T}_{k}}{{S}_{k}}$=$\frac{k+1}{2}$，而S_k=C_k³，所以得T_k=$\frac{k+1}{2}$C_k³，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，易知S_k+1=C_k+1³，
而當(dāng)集合M從{1，2，3，…，k}變?yōu)閧1，2，3，…，k，k+1}時(shí)，T_k+1在Tk的基礎(chǔ)上增加了1個(gè)2，2個(gè)3，3個(gè)4，…，和（k-1）個(gè)k，
所以T_k+1=T_k+2×1+3×2+4×3+…+k（k-1），
=$\frac{k+1}{2}$C_k³+2（C₂²+C₃²+C₄²+…+C_k²），
=$\frac{k+1}{2}$C_k³+2（C₃³+C₃²+C₄²+…+C_k²），
=$\frac{k-2}{2}$C_k+1³+2C_k+1³，
=$\frac{k+2}{2}$C_k+1³，
=$\frac{（k+1）+1}{2}$S_k+1，
即$\frac{{T}_{k+1}}{{S}_{k+1}}$=$\frac{（k+1）+1}{2}$．
即所以當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．
綜上所述，猜想成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、遞推公式、數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了猜想歸納能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．