Question

【題目】函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在閉區(qū)間[a，b]D，使得函數(shù)f（x）滿足：①f（x）在[a，b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②f（x）在[a，b]上的值域為[2a，2b]，則稱區(qū)間[a，b]為y=f（x）的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有（ ） ①f（x）=x2（x≥0）；
②f（x）=ex（x∈R）；
③f（x）= （x≥0）；
④f（x）= ．
A.①②③④
B.①②④
C.①③④
D.①③

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”，則：①f（x）在[a，b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；② 或 ①f（x）=x2（x≥0），若存在“倍值區(qū)間”[a，b]，則 ，∴ ∴
∴f（x）=x2（x≥0），若存在“倍值區(qū)間”[0，2]；
②f（x）=ex（x∈R），若存在“倍值區(qū)間”[a，b]，則 ，∴
構(gòu)建函數(shù)g（x）=ex﹣2x，∴g′（x）=ex﹣2，
∴函數(shù)在（﹣∞，ln2）上單調(diào)減，在（ln2，+∞）上單調(diào)增，
∴函數(shù)在x=ln2處取得極小值，且為最小值．
∵g（ln2）=2﹣2ln2＞0，∴g（x）＞0恒成立，∴ex﹣2x=0無解，故函數(shù)不存在“倍值區(qū)間”；
③ ， =
若存在“倍值區(qū)間”[a，b][0，1]，則 ，∴ ，∴a=0，b=1，若存在“倍值區(qū)間”[0，1]；
④ ．不妨設(shè)a＞1，則函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)
若存在“倍值區(qū)間”[m，n]，則 ，必有 ，
必有m，n是方程 的兩個根，
必有m，n是方程 的兩個根，
由于 存在兩個不等式的根，故存在“倍值區(qū)間”[m，n]；
綜上知，所給函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有①③④
故選C．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的定義域及其求法的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零，以及對函數(shù)的值域的理解，了解求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的．