Question

4．已知函數(shù)f（x）=2^x-1，函數(shù)g（x）=[f（x）]²-3f（x）+2，函數(shù)g（x）的零點(diǎn)為α，β，且α＜β，設(shè)A={x|α≤x≤β+log₂$\frac{4}{3}$}
（1）記函數(shù)f（x）在A上的值域?yàn)镃，若函數(shù)G（x）=x²+2x+t，x∈[0，1]的值域?yàn)锽，且C∪B=B，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）若?x∈A，[f（log₂x）]²+2af（log₂x）+a＞-5恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出集合A，B，C，令C⊆B列方程解出t的范圍；
（2）根據(jù)x的范圍求出t=f（log₂x）的范圍，則關(guān)于t的不等式t²+2at+a＞-5恒成立，令F（t）=t²+2at+a，對(duì)a進(jìn)行討論得出F（t）的單調(diào)性，求出F_min（t），令F_min（t）＞-5即可得出a的范圍．

解答 解：（1）令g（x）=0得[f（x）]²-3f（x）+2=0，解得f（x）=1或f（x）=2，
∴2^x-1=1或2^x-1=2，解得x=1或x=log₂3．
∴A=[1，2]，
∵f（x）為增函數(shù)，∴f（x）在A上的最小值為f（1）=1，最大值為f（2）=3．
∴C=[1，3]，
∵G（x）在[0，1]上為增函數(shù)，
∴G（x）在[0，1]上的最小值為G（0）=t，最大值為G（1）=3+t．
∴B=[t，3+t]．
∵C∪B=B，∴C⊆B．
∴$\left\{\begin{array}{l}{t≤1}\\{3+t≥3}\end{array}\right.$，解得：0≤t≤1．
（2）由（1）得A=[1，2]，∴當(dāng)x∈A時(shí)，0≤log₂x≤1．∴0≤f（log₂x）≤1．
設(shè)f（log₂x）=t，則t²+2at+a＞-5在[0，1]上恒成立．
設(shè)F（t）=t²+2at+a=（t+a）²-a²+a，則F_min（t）＞-5．
①若-a≤0即a≥0，則F（t）在[0，1]上為增函數(shù)，∴F_min（t）=F（0）=a，
∴a＞-5，∴a≥0．
②若-a≥1，即a≤-1，則F（t）在[0，1]上為減函數(shù)，∴F_min（t）=F（1）=1+3a，
∴1+3a＞-5，解得-2＜a≤-1．
③若0＜-a＜1，即-1＜a＜0，則F（t）在[0，-a]上為減函數(shù)，在[-a，1]上為增函數(shù)．
∴F_min（t）=F（-a）=a-a²，
∴a-a²＞-5，解得-1＜a＜0．
綜上，a的取值范圍是[-2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與值域，集合的關(guān)系，函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．