Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+$\frac{x}$（a，b∈R），且對任意x＞0，都有$f（x）+f（\frac{1}{x}）=0$．
（1）求a，b的關系式；
（2）若f（x）存在兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂，求出a的取值范圍并證明$f（\frac{a^2}{2}）＞0$；
（3）在（2）的條件下，判斷y=f（x）零點的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用賦值法，結(jié)合f（1）=0得到關于a，b的關系式，然后對恒成立進行證明；
（2）因為該函數(shù)有兩個極值點，所以導函數(shù)等于零有兩個異號根，在此基礎上得到關于a，b的關系式，然后代入f（$\frac{{a}^{2}}{2}$），再證明函數(shù)g（a）=f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0恒成立即可；
（3）利用導數(shù)結(jié)合函數(shù)的極值點、單調(diào)性、最值等以及利用數(shù)形結(jié)合思想確定出函數(shù)零點的個數(shù)，注意分類討論．

解答 解：（1）根據(jù)題意：令x=1，可得$f（1）+f（\frac{1}{1}）=0$，
∴f（1）=-a+b=0，
經(jīng)驗證，可得當a=b時，對任意x＞0，都有$f（x）+f（\frac{1}{x}）=0$，
∴b=a．
（2）由（1）可知$f（x）=lnx-ax+\frac{a}{x}$，且x＞0，∴$f'（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{a}{x^2}=\frac{{-a{x^2}+x-a}}{x^2}$，
令g（x）=-ax²+x-a，
要使f（x）存在兩個極值點x₁，x₂，則須有y=g（x）有兩個不相等的正數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ \frac{1}{2a}＞0\\△=1-4{a^2}＞0\\ g（0）=-a＜0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ \frac{1}{2a}＞0\\△=1-4{a^2}＞0\\ g（0）=-a＞0\end{array}\right.$，解得$0＜a＜\frac{1}{2}$或無解，
∴a的取值范圍$0＜a＜\frac{1}{2}$，可得$0＜\frac{a^2}{2}＜\frac{1}{8}$，
由題意知$f（\frac{a^2}{2}）=ln\frac{a^2}{2}-\frac{a^3}{2}+\frac{2}{a}=2lna+\frac{2}{a}-\frac{a^3}{2}-ln2$，
令$h（x）=2lnx+\frac{2}{x}-\frac{x^3}{2}-ln2$，則$h'（x）=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}-\frac{{3{x^2}}}{2}=\frac{{-3{x^4}+4x-4}}{{2{x^2}}}$，
而當$x∈（0，\;\;\frac{1}{2}）$時，-3x⁴+4x-4=-3x⁴-4（1-x）＜0，即h'（x）＜0，∴h（x）在$（0，\;\;\frac{1}{2}）$上單調(diào)遞減，
∴$h（x）＞h（\frac{1}{2}）=-2ln2+4-\frac{1}{16}-ln2＞\frac{63}{16}-3lne＞0$，
即$0＜a＜\frac{1}{2}$時，$f（\frac{a^2}{2}）＞0$．
（3）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{a}{x^2}=\frac{{-a{x^2}+x-a}}{x^2}$，g（x）=-ax²+x-a，
令f'（x）=0得：${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-4{a^2}}}}{2a}$，${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-4{a^2}}}}{2a}$，
由（2）知$0＜a＜\frac{1}{2}$時，y=g（x）的對稱軸$x=\frac{1}{2a}∈（1，+∞）$，△=1-4a²＞0，g（0）=-a＜0，
∴x₂＞1，又x₁x₂=1，可得x₁＜1，
此時，f（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞減，（x₁，x₂）上單調(diào)遞增，（x₂，+∞）上單調(diào)遞減，
所以y=f（x）最多只有三個不同的零點，
又∵f（1）=0，
∴f（x）在（x₁，1）上遞增，即x∈[x₁，1）時，f（x）＜0恒成立，
根據(jù)（2）可知$f（\frac{a^2}{2}）＞0$且$0＜\frac{a^2}{2}＜\frac{1}{8}$所以$\frac{a^2}{2}∉（{x_1}，1）$，即$\frac{a^2}{2}∈（0，{x_1}）$
∴$?{x_0}∈（\frac{a^2}{2}，\;\;{x_1}）$，使得f（x₀）=0，…（12分）
由0＜x₀＜x₁＜1，得$\frac{1}{x_0}＞1$，又$f（\frac{1}{x_0}）=-f（{x_0}）=0，\;\;f（1）=0$，
∴f（x）恰有三個不同的零點：${x_0}，\;\;1，\;\;\frac{1}{x_0}$．
綜上所述，y=f（x）恰有三個不同的零點．

點評 本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式證明等知識，包括函數(shù)的極值、零點，二次方程根的分布等知識，考查考生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力，同時也考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．