Question

20．如圖，拋物線C₁：y²=2px與橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1在第一象限的交點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，△OAB的面積為$\frac{8\sqrt{6}}{3}$，求拋物線C₁的方程．

Answer 1

分析 設(shè)B（x₀，y₀），（x₀，y₀＞0），可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}^{2}}{16}+\frac{{y}_{0}^{2}}{12}=1}\\{\frac{1}{2}×4•{y}_{0}=\frac{8\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，解得B，代入拋物線方程解得p即可得出．

解答 解：設(shè)B（x₀，y₀），（x₀，y₀＞0），
∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}^{2}}{16}+\frac{{y}_{0}^{2}}{12}=1}\\{\frac{1}{2}×4•{y}_{0}=\frac{8\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{4}{3}}\\{{y}_{0}=\frac{4\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，
代入拋物線C₁：y²=2px，可得$（\frac{4\sqrt{6}}{3}）^{2}$=2p×$\frac{4}{3}$，
解得p=4．
∴拋物線C₁的方程為y²=8x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與拋物線相交問題、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．