Question

13．設α，β是關于x的方程x²+2x+m=0（m∈R）的兩個根，則|α|+|β|的值為$\left\{\begin{array}{l}{2，（0≤m≤1）}\\{2\sqrt{1-m}，（m＜0）}\end{array}\right.$．．

Answer 1

分析 由方程x²+2x+m=0（m∈R）有兩個根得到m的范圍，然后分類把|α|+|β|中的絕對值去掉，然后結(jié)合根與系數(shù)的關系得答案．

解答 解：∵α，β是關于x的方程x²+2x+m=0（m∈R）的兩個根，
則△=2²-4m≥0，解得m≤1，
且α+β=-2，αβ=m．
當m=1時，α=β=-1，此時|α|+|β|=2；
當m＜1時，不妨設α＜β，
若0≤m＜1，則α＜0，β≤0，
則|α|+|β|=-α-β=-（α+β）=-（-2）=2；
若m＜0，則α＜0，β＞0，且|α|＞|β|，
∴|α|+|β|=-α+β=-（α-β）=$\sqrt{{（α-β）}^{2}}$=$\sqrt{{（α+β）}^{2}-4αβ}$=$\sqrt{4-4m}$=2$\sqrt{1-m}$．
綜上，當0≤m≤1時，|α|+|β|=2；
當m＜0時，|α|+|β|=2 $\sqrt{1-m}$，
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{2，（0≤m≤1）}\\{2\sqrt{1-m}，（m＜0）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了函數(shù)零點與方程的根的關系，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．