Question

5．已知三個(gè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足b＜a+c≤2b，a＜b+c≤2a，則$\frac{a}$的取值范圍為（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）
• B． （$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$）
• C． （0，$\frac{2}{3}$）
• D． （$\frac{3}{2}$，2）

Answer 1

分析 將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用不等式的性質(zhì)建立關(guān)于$\frac{a}$的不等式關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵三個(gè)正數(shù)a，b，c，滿足b＜a+c≤2b，a＜b+c≤2a，
∴$\frac{a}$＜1+$\frac{c}{a}$≤$\frac{2b}{a}$，1＜$\frac{a}$+$\frac{c}{a}$≤2
即-$\frac{2b}{a}$≤-1-$\frac{c}{a}$＜-$\frac{a}$，
不等式的兩邊同時(shí)相加得1-$\frac{2b}{a}$＜$\frac{a}$-1＜2-$\frac{a}$，
則等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{2b}{a}＜\frac{a}-1}\\{\frac{a}-1＜2-\frac{a}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}＞\frac{2}{3}}\\{\frac{a}＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即$\frac{2}{3}$＜$\frac{a}$＜$\frac{3}{2}$，即$\frac{2}{3}$＜$\frac{a}$＜$\frac{3}{2}$，
即$\frac{a}$的取值范圍為（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的解法，利用不等式的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．