Question

設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，1），且點(diǎn)P（x，y）在橢圓

(x-1)2

9

+

(y+1)2

16

=1上，則|

.

OP

|•cos∠AOP的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：化簡得：∵|

.

OP

|•cos∠AOP=

OP • OA

| OA |

=

2x+y

5

，根據(jù)橢圓的三角變換得出：x=1+3cosθ，y=4sinθ-1，θ∈[0，2π），利用三角函數(shù)求解：|

.

OP

|•cos∠AOP=

4sinθ+6cosθ+1

5

，

解答： 解：∵點(diǎn)P（x，y）在橢圓

(x-1)2

9

+

(y+1)2

16

=1上，

OA

=（2，1），

OP

=（x，y），
∴x=1+3cosθ，y=4sinθ-1，θ∈[0，2π），
∵|

.

OP

|•cos∠AOP=

OP • OA

| OA |

=

2x+y

5

，
∴|

.

OP

|•cos∠AOP=

4sinθ+6cosθ+1

5

，
∴最大值為

2 13 +1

5

=

2 65 + 5

5

，
故答案為：

2 65 + 5

5

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的參數(shù)方程，結(jié)合向量求解，屬于綜合題，難度較大．