Question

【題目】（本小題滿分12分）橢圓 （）的上頂點(diǎn)為， 是上的一點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，問(wèn)：在軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，它們到直線的距離之積等于？如果存在，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在兩個(gè)定點(diǎn)， ．

【解析】試題（1）設(shè)．以為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)即，從而得到b,c的一個(gè)方程，然后將點(diǎn)P代入橢圓方程得到a,b的一個(gè)方程，再結(jié)合,三個(gè)量三個(gè)方程，從而求出參數(shù)a,b，進(jìn)而求出橢圓方程；（2）是否存在性問(wèn)題應(yīng)假設(shè)存在去求解．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由其與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)得到．假設(shè)存在兩點(diǎn)， 滿足題設(shè)，然后得到 ．因與參數(shù)k,m無(wú)關(guān)，所以令其系數(shù)等于零即可求出．

試題解析：（1）， ，由題設(shè)可知，得

①

又點(diǎn)在橢圓上， ， ②

③

①③聯(lián)立解得， ，

故所求橢圓的方程為

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，代入橢圓方程，消去，

整理得（）

方程（）有且只有一個(gè)實(shí)根，又，

所以，得

假設(shè)存在， 滿足題設(shè)，則由

對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，

所以， 解得， 或

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．

總上，存在兩個(gè)定點(diǎn)， ，使它們到直線的距離之積等于．