Question

在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系．直線l的極坐標方程為ρcos（θ-

π

3

）=

a-b

2

，與曲線C：ρ=

2

交于A，B兩點，已知|AB|≥

6

．
（1）求直線l與曲線C的直角坐標方程；
（2）若動點P（a，b）在曲線C圍城的區(qū)域內(nèi)運動，求點P所表示的面積．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,軌跡方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）直線l的極坐標方程為ρcos（θ-

π

3

）=

a-b

2

，展開并把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出；曲線C：ρ=

2

化為ρ²=2，利用ρ²=x²+y²即可得出．
（2）圓心O到直線l的距離d=

|a-b|

2

，利用弦長公式|AB|=2

r2-d2

≥

6

，化為（a-b）²≤2．可得a，b滿足

|a|≤ 2 |b|≤ 2 a2+b2≤2

，及其-

2

≤b-a≤

2

．結合圖形即可得出．

解答： 解：（1）直線l的極坐標方程為ρcos（θ-

π

3

）=

a-b

2

，展開為

1

2

ρcosθ+

3

2

ρsinθ=

a-b

2

，∴x+

3

y=a-b．
曲線C：ρ=

2

化為x²+y²=2．
（2）圓心O到直線l的距離d=

|a-b|

2

，
∴|AB|=2

r2-d2

=2

2- (a-b)2 4

=

8-(a-b)2

≥

6

，化為（a-b）²≤2．
a，b滿足

|a|≤ 2 |b|≤ 2 a2+b2≤2

，及其-

2

≤b-a≤

2

．
∴點P所表示的面積S=π×(

2

)2-2×[

1

4

×π×(

2

)2-

1

2

×(

2

)2]
=π+2．

點評：本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓的位置關系、線性規(guī)劃問題、圓的面積計算、弦長公式、點到直線的距離公式，考查了數(shù)形結合思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．