Question

如圖，在空間四邊形ABCD中，兩條對(duì)角線AC，BD互相垂直，且長度分別為4和6，平行于這兩條對(duì)角線的平面與邊AB，BC，CD，DA分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，記四邊形EFGH的面積為y，設(shè)

BE

AB

=x，則（　�。�

• A、函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)椋?，4]
• B、函數(shù)y=f（x）的最大值為8
• C、函數(shù)y=f（x）在(0，

  2

  3

  )上單調(diào)遞減
• D、函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（1-x）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離,簡易邏輯

分析：根據(jù)空間四邊形的性質(zhì)證明四邊形EFGH為矩形，然后根據(jù)比例關(guān)系求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：∵AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，
∴AC∥EF．AC∥HG，BD∥EH．BD∥FG，
則四邊形EFGH為平行四邊形，
∵兩條對(duì)角線AC，BD互相垂直，
∴EH⊥EF，
則四邊形EFGH為矩形，
∵

BE

AB

=x，
∴由

EH

BD

=

AE

AB

=

AB-BE

AB

=1-

BE

AB

=1-x，
即EH=（1-x）BD=6（1-x），
同理

EF

AC

=

BE

AB

=x，
則EF=x•AC=4x，
則四邊形EFGH的面積為y=EH•EF=4x•6（1-x）=24（x-x²）=-24（x-

1

2

）²+6，
∵x∈（0，1），
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)取得最大值6，故A，B錯(cuò)誤．
函數(shù)的對(duì)稱軸為x=

1

2

，則函數(shù)在(0，

2

3

)上不是單調(diào)函數(shù)，故C錯(cuò)誤．
∵函數(shù)的對(duì)稱軸為x=

1

2

，
∴函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（1-x），故D正確，
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間四邊形和函數(shù)的綜合以及與一元二次函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)是考查，綜合性較強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，有一點(diǎn)的難度．