Question

已知函數(shù)f（x）=msinx+ncosx，且f（

π

6

）是它的最大值，（其中m、n為常數(shù)且mn≠0）給出下列命題：①f（x+

π

3

）是偶函數(shù)；②函數(shù)f（x）的圖象關于點（

8π

3

，0）對稱；③f（-

3π

2

）是函數(shù)f（x）的最小值；④

m

n

=

3

3

．
其中真命題有（　　）

• A、①②③④
• B、②③
• C、①②④
• D、②④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：綜合題,簡易邏輯

分析：先化簡函數(shù)，利用f（

π

6

）是它的最大值，求出φ=2kπ+

π

3

，再對選項進行判斷，即可得出結論．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）=msinx+ncosx=

m2+n2

sin（x+φ），且f（

π

6

）是它的最大值，
∴

π

6

+φ=2kπ+

1

2

π，k∈z，
∴φ=2kπ+

π

3

，∴tanφ=

n

m

=

3

，
∴

m

n

=

3

3

，即④正確．
∵f（x）=

m2+n2

sin（x+

π

3

 ）
對于①，由于 f（x+

π

3

）=

m2+n2

sin（x+

2

3

π ），不是偶函數(shù)，故①不正確．
對于②，由于當x=

8π

3

時，f（x）=0，故函數(shù)f（x）的圖象關于點（

8π

3

，0）對稱，故②正確．
對于③，由于 f（-

3π

2

）=

m2+n2

sin（-

5

6

π），不是函數(shù)f（x）的最小值，故③不正確．
故選：D．

點評：本題考查兩角和正弦公式，正弦函數(shù)的最值，對稱性，奇偶性，函數(shù)圖象的變換，輔助角公式的應用，是解題的關鍵．