Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x+a-2，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的最小值為-

3

2

，求函數(shù)f（x）（x∈R）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接結(jié)合三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，然后，借助于三角函數(shù)的單調(diào)性求解其單調(diào)區(qū)間；
（2）結(jié)合[0，

π

2

]，然后，借助于三角函數(shù)的單調(diào)性確定其值域．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x+a-2，
∴f(x)=

3

sin(2x+

π

3

)+a-2，
其單調(diào)遞增區(qū)間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
則f(x)min=

3

•(-

3

2

)+a-2=-

3

2

⇒a=2，
∴f(x)∈[-

3

，

3

]．
∴函數(shù)f（x）（x∈R）的值域[-

3

，

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．