Question

2．求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
（1）漸近線方程為2x±3y=0，且過點P（$\sqrt{6}$，2）
（2）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{47}$+$\frac{{y}^{2}}{22}$=1有公共焦點，且離心率e=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=λ$（λ≠0），由雙曲線過點P（$\sqrt{6}$，2），能求出雙曲線的標準方程．
（2）由已知得雙曲線的焦點坐標F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），雙曲線離心率e=$\frac{5}{4}$，由此能求出雙曲線的標準方程．

解答 解：（1）∵雙曲線的漸近線方程為2x±3y=0，
∴設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=λ$（λ≠0），
∵雙曲線過點P（$\sqrt{6}$，2），
∴$\frac{6}{9}-\frac{4}{4}$=λ，解得λ=-$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=-\frac{1}{3}$，
∴雙曲線的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．
（2）橢圓$\frac{{x}^{2}}{47}$+$\frac{{y}^{2}}{22}$=1的焦點為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），
∴雙曲線的焦點坐標F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），
設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞0，b＞0，
∵雙曲線離心率e=$\frac{5}{4}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{\frac{c}{a}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解得a=4，c=5，∴b²=25-16=9，
∴雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

點評 本題考查雙曲線的標準方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線、橢圓的簡單性質(zhì)和待定系數(shù)法的合理運用．