Question

13．如圖所示，將直角三角形ABC以斜邊AB上的高CD為棱折成一個三棱錐C一ADB₁，且使得平面ACD⊥平面B₁CD，記BC=a，AC=b（a，b為變量），則∠B₁CA的最小值為（　　）

• A． 45°
• B． 60°
• C． 75°
• D． 30°

Answer 1

分析 由折疊性質(zhì)知B₁C=BC=a，B₁D=BD，由平面ACD⊥平面B₁CD可知AD⊥B₁D．且BD=acosB，AD=bcos∠BAC=bsinB，在△AB₁C中使用余弦定理可得cos∠B₁CA=$\frac{1}{2}$sin2B．于是當(dāng)∠B₁CA取得最小值時，cos∠B₁CA=$\frac{1}{2}$sin2B取得最大值$\frac{1}{2}$，得出答案．

解答 解：∵平面ACD⊥平面B₁CD，平面ACD∩平面B₁CD=CD，AD⊥CD，AD?平面ACD，
∴AD⊥平面B₁CD，∵B₁D?平面B₁CD，
∴AD⊥B₁D．
設(shè)BD=x，AD=y，則（x+y）²=a²+b²，
B₁D=BD=x，
∴AB₁=$\sqrt{A{D}^{2}+{B}_{1}{D}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．
∵B₁C=BC=a，
∴cos∠B₁CA=$\frac{{B}_{1}{C}^{2}+A{C}^{2}-A{{B}_{1}}^{2}}{2{B}_{1}C•AC}$=$\frac{xy}{ab}$，
∵x=acosB，y=bcos∠BAC=bsinB，
∴cos∠B₁CA=$\frac{acosB•bsinB}{ab}$=$\frac{1}{2}$sin2B．
∴當(dāng)B=45°時，cos∠B₁CA取得最大值$\frac{1}{2}$，
∴∠B₁CA的最小值為60°．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了面面垂直的性質(zhì)及余弦定理得應(yīng)用，利用余弦定理得出cos∠B₁CA是本題關(guān)鍵．