Question

4．設函數(shù)f（x）=|x²-a|（a∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果存在實數(shù)m，n（m＜n）是函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域為[m，n]，則稱區(qū)間[m，n]是函數(shù)f（x）的和諧區(qū)間，設a＞0，若函數(shù)f（x）恰好有兩個和諧區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）去掉絕對值，討論a的取值，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]時，根據(jù)f（x）的單調(diào)性，列出對應的方程組，求出a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x²-a|（a∈R），
當a≤0時，f（x）=x²-a，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）；
當a＞0時，令f（x）=0，解得x=±$\sqrt{a}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（$\sqrt{a}$，+∞），（-$\sqrt{a}$，0），
單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{a}$），（0，$\sqrt{a}$）；
（2）假設存在實數(shù)m，n（m＜n），使函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，
①若m＜n≤0，∵函數(shù)f（x）=|x²-a|≥0，∴結(jié)論不成立；
②若n＞m≥0，假設函數(shù)f（x）=|x²-a|在區(qū)間[m，n]上存在兩個和諧區(qū)間，
∵f（x）在（0，$\sqrt{a}$）上是減函數(shù)，（$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-a=n}\\{{n}^{2}-a=m}\end{array}\right.$，消去a得m²-n²=n-m，
整理得（m-n）（m+n+1）=0；
因為m＜n，所以m+n+1=0，即m=-n-1＞0；∴n＜-1，不合題意，應舍去；
或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-a=m}\\{{n}^{2}-a=n}\end{array}\right.$，消去a得m²-n²=m-n，
整理得（m-n）（m+n-1）=0；
因為m＜n，所以 m+n-1=0，即 n=1-m．
又$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{1-m＞m}\end{array}\right.$，所以0≤m＜$\frac{1}{2}$；
因為a=m²-m=${（m-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，所以-$\frac{1}{4}$＜a≤0，不合題意，應舍去；
綜上得，函數(shù)f（x）存在“和諧”區(qū)間時，a的取值范圍是∅．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，新問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的根的問題，求解難度較大，根據(jù)的關鍵是理解題意，把問題轉(zhuǎn)化為求方程組或不等式組解的問題．