Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+2=qa_n（q為實數(shù)，且q≠1），n∈N^*，a₁=1，a₂=2，且a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差數(shù)列
（1）求q的值和{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{{{{log}_2}{a_{2n}}}}{{{a_{2n-1}}}}$，n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+2=qa_n、a₁、a₂，可得a₃、a₅、a₄，利用a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差數(shù)列，計算即可；
（2）通過（1）知b_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，n∈N^*，寫出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n、2T_n的表達式，利用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式，計算即可．

解答 解：（1）∵a_n+2=qa_n（q為實數(shù)，且q≠1），n∈N^*，a₁=1，a₂=2，
∴a₃=q，a₅=q²，a₄=2q，
又∵a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差數(shù)列，
∴2×3q=2+3q+q²，
即q²-3q+2=0，
解得q=2或q=1（舍），
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}，}&{n為奇數(shù)}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（2）由（1）知b_n=$\frac{{{{log}_2}{a_{2n}}}}{{{a_{2n-1}}}}$=$\frac{lo{g}_{2}{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，n∈N^*，
記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，
則T_n=1+2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+4•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴2T_n=2+2+3•$\frac{1}{2}$+4•$\frac{1}{{2}^{2}}$+5•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-3}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
兩式相減，得T_n=3+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=3+$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n-2}]}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=3+1-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查求數(shù)列的通項與前n項和，考查分類討論的思想，利用錯位相減法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．