Question

14．設(shè)定義在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的函數(shù)f（x）滿足下列條件：①單調(diào)遞增；②f（x）•f[f（x）+$\frac{2}{x}$]=4恒成立；③f（2）+1＞0，則f（2）=（　�。�

• A． 1-$\sqrt{3}$
• B． 1+$\sqrt{3}$
• C． 1±$\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由恒成立思想可令x=2，可得f（2）•f[f（2）+1]=4，運用排除法，設(shè)f（2）=1+$\sqrt{3}$，f（2）=2，代入計算，運用單調(diào)性，即可判斷不成立，進(jìn)而得到答案．

解答 解：由f（x）•f[f（x）+$\frac{2}{x}$]=4恒成立，
可得f（2）•f[f（2）+1]=4，
若f（2）=1+$\sqrt{3}$，則（1+$\sqrt{3}$）•f（2+$\sqrt{3}$）=4，
即有f（2+$\sqrt{3}$）=$\frac{4}{1+\sqrt{3}}$=2（$\sqrt{3}$-1），
由2+$\sqrt{3}$＞2，可得f（2+$\sqrt{3}$）＞f（2），
但2（$\sqrt{3}$-1）＜2，則f（2）≠1+$\sqrt{3}$，故排除B，C；
若f（2）=2，則2f（3）=4，即f（3）=2，
則f（2）=f（3），這與f（2）＜f（3）矛盾，故排除D．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)及運用，注意運用排除法，以及函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．