【題目】已知集合.為集合中構(gòu)成等差數(shù)列的個(gè)元素,求的最大值.

【答案】6

【解析】

(1)顯然,、、、

、 這六個(gè)數(shù)在集合中,且構(gòu)成等差數(shù)列.

(2)用反證法證明:集合中任意七個(gè)不同的數(shù)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.

設(shè)為集合中構(gòu)成等差數(shù)列的7個(gè)不同的元素,其公差為.

由集合中元素的特性,知集合中任意一個(gè)元素均不是7的倍數(shù).

于是,由抽屜原理,知這七個(gè)數(shù)中存在兩個(gè)數(shù),它們被7除的余數(shù)相同,其差能被7整除.

不妨設(shè)能被7整除..

,設(shè),

其中,、、 為不超過6的正整數(shù).

,其中,.

,

,即公差只能為.

因?yàn)?/span>,且,所以,除以7后的余數(shù)各不相同,分別為1,2,…,6中的一個(gè).

因此,存在,使得能被7整除.

設(shè) .

.

于是,的七進(jìn)制表示中,7的系數(shù)(即從左到右第2位)為0,與 矛盾.

從而,集合 中任意七個(gè)不同的數(shù)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.

因此,的最大值為6.

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