【題目】已知以點(diǎn)為圓心的圓過點(diǎn),線段的垂直平分線交圓于點(diǎn),且.

1)求直線的方程;

2)求圓的方程;

3)是否存在點(diǎn)在圓上,使得的面積為?若存在,請指出共有幾個這樣的點(diǎn)?說明理由,并求出這些點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1) (2);(3)存在,有兩個點(diǎn),當(dāng)時,點(diǎn)坐標(biāo)為;當(dāng)時,點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】

(1)由題意知直線垂直平分線段,由的坐標(biāo)求得所在直線的斜率,可得所在直線的斜率,再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo),代入直線點(diǎn)斜式方程即得答案;

(2)由題意知線段為圓的直徑,可得.設(shè)圓P的方程為,把的坐標(biāo)代入圓的方程,聯(lián)立求得的值,即可求得圓的方程;

(3)由,當(dāng)的面積為時,則點(diǎn)到直線的距離為,又因為圓心到直線的距離為,且,可知圓上共有兩個點(diǎn)滿足條件,通過求出的平行直線和圓聯(lián)立即可求出點(diǎn)坐標(biāo).

(1)由題意知直線垂直平分線段,

中點(diǎn)坐標(biāo),又,

∴直線的方程為,即;

(2)由題意知線段為圓的直徑,

設(shè)圓P的方程為,

∵圓經(jīng)過點(diǎn)

,

解得.

∴圓的方程為.

(3),當(dāng)的面積為時,點(diǎn)到直線的距離為,又因為圓心到直線的距離為,圓的半徑為,且

圓上共有兩個點(diǎn),使的面積為18.

點(diǎn)在與直線平行且距離直線的為的直線上,同時圓心到直線的距離為.直線與圓的交點(diǎn)即為所求點(diǎn).

當(dāng)時,可求得直線

,所以此時點(diǎn)坐標(biāo)為;

當(dāng)時,可求得直線

,所以此時點(diǎn)坐標(biāo)為;

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