Question

5．已知直線l：y=x+t與橢圓C：x²+2y²=2交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）若|AB|=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，求t的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）聯(lián)立直線和橢圓方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（ I）因?yàn)閤²+2y²=2，
所以$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
所以$a=\sqrt{2}，b=1$，所以c=1，
所以長(zhǎng)軸為$2a=2\sqrt{2}$，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
（ II）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
因?yàn)?\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}-2=0\\ y=x+t\end{array}\right.$，消元化簡(jiǎn)得3x²+4tx+2t²-2=0，
所以$\left\{\begin{array}{l}△=16{t^2}-12（2{t^2}-2）=24-8{t^2}＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{-4t}{3}\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{t^2}-2}}{3}\end{array}\right.$，
所以 $|AB|=\sqrt{1+{1^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{\sqrt{2}}}{3}\sqrt{24-8{t^2}}$，
又因?yàn)?|AB|=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，
所以 $\frac{{\sqrt{2}}}{3}\sqrt{24-8{t^2}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，解得t=±1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓方程的應(yīng)用和性質(zhì)，以及直線和橢圓相交的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵．