Question

17．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F₂與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且△F₁AB的周長為4$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在直線l使△F₁AB的面積為$\frac{4}{3}$？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用離心率公式和橢圓的定義，可得a，c，求出b，即可得到橢圓方程；
（2）假設(shè)存在直線l，使△F₁AB的面積為$\frac{4}{3}$．求出橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的焦點(diǎn)，設(shè)直線l：x=1或y=k（x-1），代入橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由三角形的面積為$\frac{1}{2}$×2×|y₁-y₂|=$\frac{4}{3}$，解方程即可得到k．

解答 解：（1）由題意可得，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由△F₁AB的周長為4$\sqrt{2}$，根據(jù)橢圓的定義可得
4a=4$\sqrt{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，
即有c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）假設(shè)存在直線l，使△F₁AB的面積為$\frac{4}{3}$．
由橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
設(shè)直線l：x=1或y=k（x-1），
當(dāng)x=1時，y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，|AB|=$\sqrt{2}$，
△F₁AB的面積為$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，不成立；
由y=k（x-1）代入橢圓方程得，
（1+2k²）x²-4k²x-2+2k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
即有|x₁-x₂|=$\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{8{k}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{8（1+{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$
則|y₁-y₂|=|k|•|x₁-x₂|=|k|•$\frac{\sqrt{8（1+{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$，
即有△F₁AB的面積為$\frac{1}{2}$×2×|y₁-y₂|=$\frac{4}{3}$，
解得k²=1或-2（舍去）．
即有k=±1．
故存在直線l：y=±（x-1），使△F₁AB的面積為$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法和直線方程與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時考查三角形的面積的求法，屬于中檔題．