Question

已知三角函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+b同時滿足以下三個條件：
①定義域?yàn)镽；
②對任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≤f（3）；
③f（x+2）=

1

2

+

f(x)-f2(x)

，
則f（x）的單調(diào)區(qū)間為（　�。�

• A、[4k-1，4k+3]，k∈Z
• B、[4k+1，4k+3]，k∈Z
• C、[8k-2，8k+2]，k∈Z
• D、[8k+2，8k+6]，k∈Z

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：依題意，知f（x）_max=f（3）與f（1+2）=

1

2

+

f(1)-f2(1)

取得最大值，可知在X=3時，f（3）取到最大值，在X=1時，取得最小值，故其周期為4，從而可得答案．

解答： 解：∵對任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≤f（3），
∴f（x）_max=f（3）；
又f（x+2）=

1

2

+

f(x)-f2(x)

，
由f（x）-f²（x）≥0得：0≤f（x）≤1，即f（x）_max=1=f（3），f（x）_min=0，
又當(dāng)x=1時，f（3）=f（1+2）=

1

2

+

f(1)-f2(1)

=1，即

1

2

+

-[f(1)- 1 2 ]2+ 1 4

=1，
解得：f（1）=

1

2

；
又f（3+2）=

1

2

+

f(3)-f2(3)

，即f（5）=

1

2

+0=

1

2

，即f（1+4）=f（1），同理可得f（7）=f（3）=1，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，其周期為4，
∴f（x）的單調(diào)區(qū)間為[4k+1，4k+3]，k∈Z．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，對關(guān)系式f（x+2）=

1

2

+

f(x)-f2(x)

的理解與應(yīng)用是難點(diǎn)，分析得到其周期為4是關(guān)鍵，屬于難題．