【題目】已知函數().
(1)若,求的導數;
(2)討論的單調區(qū)間;
(3)設,若對任意,均存在,使得,求a的取值范圍.
【答案】(1)(2)見解析(3).
【解析】
(1)根據得到,再求導.
(2)()根據定義域和根的大小,分,, ,四種情況討論求解.
(3)根據對任意,均存在,使得,轉化為在上有,然后分別求得兩個函數的最大值即可.
(1)當時,,
所以.
(2)().可化為
().
①當時,,,在區(qū)間上,,在區(qū)間上,
故的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是.
②當時,,在區(qū)間和上,;在區(qū)間上,
故的單調遞增區(qū)間是和,單調遞減區(qū)間是.
③當時,,故的單調遞增區(qū)間是.
④當時,,在區(qū)間和上,;在區(qū)間上,,
故的單調遞增區(qū)間是和,單調遞減區(qū)間是.
(3)由已知,在上有.
因為,
所以,由(2)可知,
①當時,在上單調遞增,
故,
所以,解得,
故.
②當時,在上單調遞增,在上單調遞減,
故.
由可知,,,
所以,,即,
綜上所述,.
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【題目】已知函數(,常數).
(1)當時,討論函數的奇偶性并說明理由;
(2)若函數在區(qū)間上單調,求正數的取值范圍;
(3)若不等式對任意恒成立,求實數的取值范圍.
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【題目】某地區(qū)某農產品近幾年的產量統(tǒng)計如表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代碼t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年產量y(萬噸) | 6.6 | 6.7 | 7 | 7.1 | 7.2 | 7.4 |
(Ⅰ)根據表中數據,建立關于的線性回歸方程;
(Ⅱ)根據線性回歸方程預測2019年該地區(qū)該農產品的年產量.
附:對于一組數據,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.(參考數據:,計算結果保留小數點后兩位)
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【題目】已知三棱錐P﹣ABC中,AC⊥BC,AC=BC=2,PA=PB=PC=3,O是AB中點,E是PB中點.
(1)證明:平面PAB⊥平面ABC;
(2)求點B到平面OEC的距離.
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【題目】如圖是某地某月1日至15日的日平均溫度變化的折線圖,根據該折線圖,下列結論正確的是( )
A. 這15天日平均溫度的極差為
B. 連續(xù)三天日平均溫度的方差最大的是7日,8日,9日三天
C. 由折線圖能預測16日溫度要低于
D. 由折線圖能預測本月溫度小于的天數少于溫度大于的天數
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【題目】為了鼓勵市民節(jié)約用電,某市實行“階梯式”電價,將每戶居民的月用電量分為二檔,月用電量不超過200度的部分按0.5元/度收費,超過200度的部分按0.8元/度收費.某小區(qū)共有居民1000戶,為了解居民的用電情況,通過抽樣,獲得了今年7月份100戶居民每戶的用電量,統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求的值;
(2)試估計該小區(qū)今年7月份用電量用不超過260元的戶數;
(3)估計7月份該市居民用戶的平均用電費用(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表).
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)證明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.
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【題目】已知直線方程為,其中
(1)求證:直線恒過定點;
(2)當變化時,求點到直線的距離的最大值;
(3)若直線分別與軸、軸的負半軸交于兩點,求面積的最小值及此時的直線方程.
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【題目】已知為拋物線上的兩個動點,點在第一象限,點在第四象限,分別過點且與拋物線相切,為的交點.
(Ⅰ)若直線過拋物線的焦點,求證動點在一條定直線上,并求此直線方程;
(Ⅱ)設為直線與直線的交點,求面積的最小值.
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