Question

已知圓．C：x²+y²-2x+4y-4=0
（1）已知直線l過點(diǎn)（ 3，1），若直線l與圓C：x²+y²-2x+4y-4=0有兩個(gè)交點(diǎn)，求直線l斜率k的取值范圍（理科）；
（2）是否存在斜率為1的直線m，使m被圓C截得的弦為AB，且OA⊥OB（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出直線m的方程； 若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）由題意可得點(diǎn)M在圓的外部，由圓心（1，-2）到直線l的距離小于半徑可得

|k+2+1-3k|

k2+1

＜3，由此求得k的范圍．
（2）假設(shè)直線m：y=x+b，代入圓的方程得：2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，因?yàn)橹本�與圓相交，從而b²+6b-11＜0，由此能求出直線方程．

解答： 解：（1）由于圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，即（x-1）²+（y+2）² =9，表示以C（1，-2）為圓心，半徑等于3的圓．
由于直線l過點(diǎn)M（ 3，1），MC=

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，大于半徑，可得點(diǎn)M在圓的外部．
當(dāng)直線l斜率k不存在時(shí)，直線l的方程為x=3，滿足和圓有2個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)直線l斜率k存在時(shí)，直線l的方程為y-1=k（x-3），即 kx-y+1-3k=0，
由圓心（1，-2）到直線l的距離小于半徑可得

|k+2+1-3k|

k2+1

＜3，求得k＞0，或 k＜-

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5

．
（2）假設(shè)直線m：y=x+b，代入圓的方程得：2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，
因?yàn)橹本�與圓相交，∴△＞0，即b²+6b-11＜0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=-b-1，x₁•x₂=

b2+4b-4

2

．由OA，OB垂直，得：

y1

x1

•

y2

x2

=-1，
∴（x₁+b）（x₂+b）+x₁x₂=0，∴2x1x2+b（x1+x2）+b2=0，
∴b²+3b-4=0，解得b=-4，或b=1，均滿足b²+6b-11＜0，
所求直線存在y=x-4或y=x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓心坐標(biāo)和半徑的求法，直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，還考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．