Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（x，1）
（1）若＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞為銳角，求x的范圍；
（2）當（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）時，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由于＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞為銳角，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=x+2＞0，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不共線，即2x-1≠0．解出即可．
（2）由（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），可得（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=$2{\overrightarrow{a}}^{2}$-$2{\overrightarrow}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，再利用數(shù)量積運算性質(zhì)、模的計算公式即可得出．

解答 解：（1）∵＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞為銳角，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=x+2＞0，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不共線，即2x-1≠0．
解得x＞-2，且$x≠\frac{1}{2}$．
∴x的范圍是{x|x＞-2，且$x≠\frac{1}{2}$}．
（2）∵（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=$2{\overrightarrow{a}}^{2}$-$2{\overrightarrow}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
∵$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{5}$，$|\overrightarrow|=\sqrt{{x}^{2}+1}$，
∴2×5-2×（x²+1）+3（x+2）=0，
化為2x²-3x-14=0，
解得x=-2或$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、模的計算公式、向量夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．