Question

19．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁，右焦點為F₂，離心率e=$\frac{1}{3}$，過F₁的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF₂的周長為12．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設動直線l：y=kx+m與橢圓E相切于點P，且與直線x=9相交于點Q，試探索以PQ為直徑的圓是否恒過x軸上一定點？若是，請求出定點的坐標；否則，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)過F₁的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF₂的周長為12，可得4a=12，即a=3，利用e=$\frac{1}{3}$，b²=a²-c²=8，即可求得橢圓E的方程；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{8{x}^{2}+9{y}^{2}=72}\end{array}\right.$，消元可得（9k²+8）x²+18kmx+9m²-72=0，利用動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P（x₀，y₀），可得m≠0，△=0，進而可得P的坐標，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=9}\end{array}\right.$，可得Q的坐標，取k=0，m=2$\sqrt{2}$；k=-$\frac{1}{3}$，m=3，猜想滿足條件的點M存在，只能是M（1，0），再由向量垂直的條件證明即可．

解答 解：（1）過F₁的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF₂的周長為12．
由橢圓的定義可得AF₁+AF₂=BF₁+BF₂=2a，
即有△ABF₂的周長為4a=12，可得a=3，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，可得c=1，
即有b²=a²-c²=8，
則橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{8{x}^{2}+9{y}^{2}=72}\end{array}\right.$，消y可得（9k²+8）x²+18kmx+9m²-72=0，
由動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P（x₀，y₀），
可得m≠0，△=0，即為（18km）²-4×（9k²+8）×（9m²-72）=0，
化為9k²-m²+8=0①
此時x₀=-$\frac{9km}{9{k}^{2}+8}$=-$\frac{9k}{m}$，y₀=$\frac{8}{m}$，
即P（-$\frac{9k}{m}$，$\frac{8}{m}$）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=9}\end{array}\right.$，得Q（9，9k+m），
取k=0，m=2$\sqrt{2}$，此時P（0，2$\sqrt{2}$），Q（9，2$\sqrt{2}$），
以PQ為直徑的圓為（x-$\frac{9}{2}$）²+（y-2$\sqrt{2}$）²=$\frac{81}{4}$，
交x軸于點M₁（1，0）或M₂（8，0）
取k=-$\frac{1}{3}$，m=3，此時P（1，$\frac{8}{3}$），Q（9，0），
以PQ為直徑的圓為（x-5）²+（y-$\frac{4}{3}$）²=$\frac{160}{9}$，
交x軸于點M₃（1，0）或M₄（9，0），
故若滿足條件的點M存在，只能是M（1，0），證明如下
由$\overrightarrow{MP}$=（-$\frac{9k}{m}$-1，$\frac{8}{m}$），$\overrightarrow{MQ}$=（8，9k+m），
可得$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=8（-$\frac{9k}{m}$-1）+$\frac{8}{m}$（9k+m）=0，
故以PQ為直徑的圓恒過x軸上的定點M（1，0）．

點評 本題主要考查拋物線的定義與性質、圓的直徑所對的圓周角為直角、直線與橢圓的位置關系，考查運算能力，考查化歸思想，屬于中檔題．