Question

14．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一條漸近線與直線3x+$\sqrt{6}$y+3=0垂直，以C的右焦點(diǎn)F為圓心的圓（x-c）²+y²=2與它的漸近線相切，則雙曲線的焦距為（　�。�

• A． 4
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $2\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)漸近線和直線垂直，得到a，b的關(guān)系，結(jié)合漸近線和圓相切得到a，b，c的方程，進(jìn)行求解即可．

解答 解：直線3x+$\sqrt{6}$y+3=0的斜率k=-$\frac{3}{\sqrt{6}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
∵雙曲線C的一條漸近線與直線3x+$\sqrt{6}$y+3=0垂直，
∴-$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\frac{a}$=-1，
即a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$b，
∵C的右焦點(diǎn)F為圓心的圓（x-c）²+y²=2與它的漸近線相切，
∴圓心F（c，0）到漸近線bx-ay=0的距離d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b=$\sqrt{2}$，
即a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$\sqrt{2}$=$\sqrt{3}$，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{3+2}$=$\sqrt{5}$，
則雙曲線的焦距為2c=$2\sqrt{5}$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的方程和應(yīng)用，根據(jù)直線垂直以及直線和圓相切建立方程關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．注意焦距是2c．