Question

10．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為正三角形，CC₁⊥平面ABC，AB=AA₁，D是BC上的一點，且AD⊥C₁D．
（1）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（2）在棱CC₁上是否存在一點P，使直線PB₁⊥平面AC₁D？若存在，找出這個點，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先證明AD⊥BC，D是BC的中點，連接A₁C，與A₁C相交于點E，則點E為A₁C的中點，連接DE，則在△A₁CB中，A₁B∥DE，又DE?AC₁D，從而證明A₁B∥平面AC₁D．
（2）由（1）可證B₁P⊥AD，設PB₁與C₁D相交于點Q，由于△DC₁C≌△PB₁C₁，可得∠QB₁C₁=∠CC₁D，由∠QC₁B₁=∠CDC₁，從而可證△QC₁B₁≌△CDC₁，可證∠C₁QB₁=∠DCC₁=90°，即可得證．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥AD，
又∵AD⊥C₁D．CC₁∩C₁D=C₁，
∴AD⊥平面BCC₁B，∴AD⊥BC，∴D是BC的中點，
如圖，連接A₁C，與AC₁相交于點E，則點E為A₁C的中點，連接DE，則在△A₁CB中，A₁B∥DE，
又DE?AC₁D，A₁B?平面AC₁D，∴A₁B∥平面AC₁D…（6分）
（2）存在這樣的點P，且點P為CC₁的中點，
證明：由（1）知AD⊥平面BCC₁B，故B₁P⊥AD，
設PB₁與C₁D相交于點Q，由于△DC₁C≌△PB₁C₁，故∠QB₁C₁=∠CC₁D，
∵∠QC₁B₁=∠CDC₁，從而△QC₁B₁≌△CDC₁，∴∠C₁QB₁=∠DCC₁=90°，
∴B₁P⊥C₁D，∵AD∩C₁D=D，∴PB₁⊥平面AC₁D…（12分）

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基本知識的考查．