Question

15．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱D₁C₁的中點，則異面直線D₁B、EC的夾角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標系．不妨設(shè)AB=2．利用$cos＜\overrightarrow{B{D}_{1}}，\overrightarrow{CE}＞$=$\frac{\overrightarrow{B{D}_{1}}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{B{D}_{1}}||\overrightarrow{CE}|}$即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標系．
不妨設(shè)AB=2．
D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，1，2），D₁=（0，0，2）．
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-2，2），$\overrightarrow{CE}$=（0，-1，2），
∴$cos＜\overrightarrow{B{D}_{1}}，\overrightarrow{CE}＞$=$\frac{\overrightarrow{B{D}_{1}}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{B{D}_{1}}||\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{2+4}{\sqrt{12}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴異面直線D₁B、EC的夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
故選：D．

點評 本題考查了向量夾角公式、數(shù)量積運算性質(zhì)、異面直線所成的角，考查了推理能力與就你死了，屬于基礎(chǔ)題．