Question

20．如圖正方形BCDE的邊長為a，已知AB=$\sqrt{3}$BC，將△ABE 沿BE邊折起，折起后A點在平面BCDE上的射影為D點，則翻折后的幾何體中有如下描述：
①AB與DE所成角的正切值是$\sqrt{2}$；
②AB∥CE；
③V_B-ACE的體積是$\frac{1}{6}$a²；
④平面ABC⊥平面ADC；
其中正確的有①④（填寫你認為正確的序號）

Answer 1

分析 連接AC，BD，CE，利用勾股定理計算AD，AC，由AD⊥平面BCDE可證BC⊥平面ACD，于是平面ABC⊥平面ADC，從而∠ABC為AB與DE所成角，由CE⊥BD，CE⊥AD得出CE⊥平面ABD，故而CE⊥AB，利用V_B-ACE=V_A-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•AD$，計算棱錐的體積．

解答 解：①連接AC，
∵A點在平面BCDE上的射影為D點，
∴AD⊥平面BCDE，又BC?平面BCDE，
∴BC⊥AD，又BC⊥CD，AD∩CD=D，
∴BC⊥平面ACD，∵AC?平面ACD，
∴BC⊥AC．
∵DE∥BC，
∴∠ABC為AB與DE所成的角．
∵BC=CD=a，AB=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$a，
∴BD=$\sqrt{2}$a，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=a，∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$a．
∴tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{2}$，
故①正確．
②連接BD，CE．
∵AD⊥平面BCDE，CE?平面BCDE，
∴AD⊥CE，
∵四邊形BCDE是正方形，
∴CE⊥BD，又BD?平面ABD，AD?平面ABD，AD∩BD=D，
∴CE⊥平面ABD，∵AB?平面ABD，
∴AB⊥CE，
故②錯誤．
③V_B-ACE=V_A-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•AD$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×a²×a=$\frac{1}{6}{a}^{3}$，
故③錯誤．
④由（1）知BC⊥平面ACD，又BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD．
故④正確．
故答案為：①④．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．