Question

10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若$\frac{2cosA-cosC}{cosB}$=$\frac{c-2a}$，且 a，b，c成等差數(shù)列．
（1）求cosC；
（2）若b=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理化簡已知可得2sinC=sinA，進(jìn)而可求a=2c，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求2b=a+c，利用余弦定理即可求得cosC的值．
（2）由cosC=$\frac{7}{8}$，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC，進(jìn)而由b=3，可得c，a，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（1）∵$\frac{2cosA-cosC}{cosB}$=$\frac{c-2a}$，
∴利用正弦定理可得：$\frac{2cosA-cosC}{cosB}$=$\frac{sinC-2sinA}{sinB}$，
∴（2cosA-cosC）sinB=cosB（sinC-2sinA），
可得：2sinBcosA+2cosBsinA=sinBcosC+cosBsinC，2sin（A+B）=sin（B+C），
∴2sinC=sinA，a=2c，
又∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，b=$\frac{3c}{2}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4{c}^{2}+\frac{9{c}^{2}}{4}-{c}^{2}}{2×2c×\frac{3c}{2}}$=$\frac{7}{8}$．（8分）
（2）由cosC=$\frac{7}{8}$，可得sinC=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，又b=3，
可得：c=2，a=4，…（10分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×4×3×\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．