Question

2．已知$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$均為單位向量，它們的夾角為60°．
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$|
（Ⅱ）若x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$垂直，求x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可知$|\overrightarrow{a}|=1，|\overrightarrow|=1$，并且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{2}$，根據(jù)向量數(shù)量積的運算便可求出$（\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）^{2}=7$，這樣即可得出|$\overrightarrow{a}-3\overrightarrow$|的值；
（Ⅱ）根據(jù)向量垂直的充要條件以及向量數(shù)量積的運算便可得出$\frac{1}{2}（{x}^{2}-1）=0$，這樣即可求出x的值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)條件，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{2}$；
∴$（\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow+9{\overrightarrow}^{2}$=1-3+9=7；
∴$|\overrightarrow{a}-3\overrightarrow|=\sqrt{7}$；
（Ⅱ）∵$x\overrightarrow{a}-\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}+x\overrightarrow$垂直；
∴$（x\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+x\overrightarrow）=x{\overrightarrow{a}}^{2}+（{x}^{2}-1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow-x$${\overrightarrow}^{2}$=$x+\frac{1}{2}（{x}^{2}-1）-x$
=$\frac{1}{2}（{x}^{2}-1）$=0；
∴x=±1．

點評 考查單位向量的定義，向量數(shù)量積的運算及計算公式，以及要求向量長度而求向量長度平方的方法，向量垂直的充要條件．