Question

已知a為實常數(shù)，函數(shù)f（x）=lnx-ax+1．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x₁，x₂（x₁＜x₂）．
   （�。┣髮崝�(shù)a的取值范圍；
   （ⅱ）求證：

1

e

＜x₁＜1，且x₁+x₂＞2．（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）寫出函數(shù)f（x）的定義域，求出f'（x），分a≤0，a＞0兩種情況討論，通過解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得單調區(qū)間；
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可知，當a≤0時f（x）單調，不存在兩個零點；當a＞0時，可求得f（x）有唯一極大值，令其大于零，可得a的范圍，再判斷極大值點左右兩側附近的函數(shù)值小于零即可；（ⅱ）由（i）知可判斷f（x）的單調性，根據(jù)零點存在定理可判斷

1

e

＜x1＜1；分析：由0＜x1＜

1

a

，得

2

a

-x1＞

1

a

，故只要證明：f（

2

a

-x1）＞0就可以得出結論．下面給出證明：構造函數(shù)：g（x）=f（

2

a

-x）-f（x）=ln（

2

a

-x）-a（

2

a

-x）-（lnx-ax）（0＜x≤

1

a

），利用導數(shù)可判斷g（x）在區(qū)間（0，

1

a

]上為減函數(shù)，從而可得g（x₁）＞g（

1

a

）=0，再由f（x₁）=0可得結論；

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），其導數(shù)f'（x）=

1

x

-a．
①當a≤0時，f'（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當a＞0時，在區(qū)間（0，

1

a

）上，f'（x）＞0；在區(qū)間（

1

a

，+∞）上，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，

1

a

）是增函數(shù)，在（

1

a

，+∞）是減函數(shù)．
（Ⅱ）（�。┯桑á瘢┲�，當a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，不可能有兩個零點，
當a＞0時，f（x）在（0，

1

a

）上是增函數(shù)，在（

1

a

，+∞）上是減函數(shù)，此時f（

1

a

）為函數(shù)f（x）的最大值，
當f（

1

a

）≤0時，f（x）最多有一個零點，∴f（

1

a

）=ln

1

a

＞0，解得0＜a＜1，
此時，

1

e

＜

1

a

＜

e2

a2

，且f（

1

e

）=-1-

a

e

+1=-

a

e

＜0，
f（

e2

a2

）=2-2lna-

e2

a

+1=3-2lna-

e2

a

（0＜a＜1），
令F（a）=3-2lna-

e2

a

，則F'（x）=-

2

a

+

e2

a2

=

e2-2a

a2

＞0，∴F（a）在（0，1）上單調遞增，
∴F（a）＜F（1）=3-e²＜0，即f（

e2

a2

）＜0，
∴a的取值范圍是（0，1）．
（ii）由（Ⅱ）（i）可知函數(shù)f（x）在（0，

1

a

）是增函數(shù)，在（

1

a

，+∞）是減函數(shù)．f（x）=lnx-ax+1，
∴f（

1

e

）=-1-

a

e

+1=-

a

e

＜0，f（1）=1-a＞0．故

1

e

＜x1＜1；
第二部分：分析：∵0＜x1＜

1

a

，∴

2

a

-x1＞

1

a

．只要證明：f（

2

a

-x1）＞0就可以得出結論．
下面給出證明：構造函數(shù)：g（x）=f（

2

a

-x）-f（x）=ln（

2

a

-x）-a（

2

a

-x）-（lnx-ax）（0＜x≤

1

a

），
則g'（x）=

1

x- 2 a

-

1

x

+2a=

2a(x- 1 a )2

x(x- 2 a )

＜0，
函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，

1

a

]上為減函數(shù)．0＜x₁＜

1

a

，則g（x₁）＞g（

1

a

）=0，又f（x₁）=0，
于是f（

2

a

-x1）=ln（

2

a

-x1）-a（

2

a

-x1）+1-f（x₁）=g（x₁）＞0．又f（x₂）=0，
由（1）可知x2＞

2

a

-x1，即x1+x2＞

2

a

＞2．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、零點及不等式的證明等知識，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力、推理論證能力，本題綜合性強，能力要求較高．