Question

已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F(0，c)(c＞0)到直線l：x－y－2＝0的距離為.設(shè)P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．

(1)求拋物線C的方程；

(2)當(dāng)點P(x₀，y₀)為直線l上的定點時，求直線AB的方程；

(3)當(dāng)點P在直線l上移動時，求|AF|·|BF|的最小值．

Answer 1

解析：(1)依題意，設(shè)拋物線C的方程為x²＝4cy，由＝結(jié)合c＞0，解得c＝1.

所以拋物線C的方程為x²＝4y.

(2)拋物線C的方程為x²＝4y，即y＝x²，求導(dǎo)得y′＝x.

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

則切線PA，PB的斜率分別為x₁，x₂，

所以切線PA的方程為y－y₁＝(x－x₁)，即y＝x－＋y₁，即x₁x－2y－2y₁＝0.

同理可得切線PB的方程為x₂x－2y－2y₂＝0.

因為切線PA，PB均過點P(x₀，y₀)，所以x₁x₀－2y₀－0，x₂x₀－2y₀－2y₂＝0，

所以(x₁，y₁)，(x₂，y₂)為方程x₀x－2y₀－2y＝0的兩組解．

所以直線AB的方程為x₀x－2y－2y₀＝0.

(3) 由拋物線定義可知|AF|＝y₁＋1，|BF|＝y₂＋1，

所以|AF|·|BF|＝(y₁＋1)(y₂＋1)＝y₁y₂＋(y₁＋y₂)＋1.

聯(lián)立方程消去x整理得y²＋(2y₀－x)y＋y＝0.

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y₁＋y₂＝x－2y₀，y₁y₂＝y，

所以|AF|·|BF|＝y₁y₂＋(y₁＋y₂)＋1＝y＋x－2y₀＋1.

又點P(x₀，y₀)在直線l上，所以x₀＝y₀＋2，

所以y＋x－2y₀＋1＝2y＋2y₀＋5＝2²＋，

所以當(dāng)y₀＝－時， |AF|·|BF|取得最小值，且最小值為.