Question

已知點(diǎn)為軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為定點(diǎn)，且滿足，.
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)且斜率為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，，試判斷在軸上是否存在點(diǎn)，使得成立，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）在軸上存在點(diǎn)，使得成立

試題分析：（Ⅰ）設(shè)，則由，得為的中點(diǎn).        ……2分
∴, .
∴ , .
∴, 即.
∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.                                         ……5分
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，由  消去得.
設(shè)，, 則, .                      ……6分
假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，則, ,
∴

.                                         ……9分
∵,
∴關(guān)于的方程有解 .                             ……11分
∴假設(shè)成立，即在軸上存在點(diǎn)，使得成立.         ……12分
點(diǎn)評(píng)：每年高考都會(huì)考查圓錐曲線問題，此類題目一般運(yùn)算量較大，主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和分析問題、解決問題的能力.