【題目】(本小題滿分12分)設各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若,求證: ;
(3)是否存在正整數(shù),使得對任意正整數(shù)均成立?若存在,求出的最大值,若不存在,說明理由.
【答案】(1)(2)(3)的最大值為4
【解析】
試題分析:(1)設出等比數(shù)列的公比,運用等比數(shù)列的通項公式,解得首項和公比,再由對數(shù)的運算性質(zhì)即可得通項公式.
本題是求數(shù)列的前項和的范圍,求和方法有很多種,本題中運用累加法求得,再由錯位相減法求和,即可得證.
(3)假設存在正整數(shù),令,判斷其單調(diào)性,進而得到最小值,解不等式即可得出的取值范圍.
試題解析:(1)設數(shù)列的公比為,
由題意有
,
∴.
(2),
當時,
相減整理得:
故.
(3)令
,
∴.
∴數(shù)列單調(diào)遞增,
由不等式恒成立得:,
∴.
故存在正整數(shù),使不等式恒成立,的最大值為4
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,,,F分別為AB,PC的中點.
(I)若四棱錐P-ABCD的體積為4,求PA的長;
(II)求證:PE⊥BC;
(III)求PC與平面PAD所成角的正切值.
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【題目】甲、乙兩人參加普法知識競賽,共有5個不同題目,選擇題3個,判斷題2個,甲、乙兩人各抽一題.
(1)求甲抽到判斷題,乙抽到選擇題的概率是多少;
(2)求甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少.
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【題目】如圖,已知橢圓 =1(a>b>0),F(xiàn)1 , F2分別為橢圓的左、右焦點,A為橢圓的上頂點,直線AF2交橢圓于另一點B.
(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;
(2)若橢圓的焦距為2,且 =2 ,求橢圓的方程.
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【題目】下列命題:其中正確命題的序號是 .
①設a,b是非零實數(shù),若a<b,則ab2<a2b;
②若a<b<0,則 > ;
③函數(shù)y= 的最小值是2;
④若x,y是正數(shù), + =1,則x+2y的最小值為8.
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【題目】某小朋友按如下規(guī)則練習數(shù)數(shù),大拇指,食指,中指,無名指,小指,無名指,中指,食指,大拇指,食指,,一直數(shù)到時,對應的指頭是( )
A. 小指 B. 中指 C. 食指 D. 無名指
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【題目】下列結(jié)論正確的個數(shù)是( )
①若正實數(shù)滿足,則的最小值是16;
②已知,則函數(shù)的最大值為;
③已知,且,則的最小值是36;
④若對任意實數(shù),不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,在四棱錐 中,底面 是平行四邊形,側(cè)面 底面 , 分別為 的中點, , , .
(1)求證: 平面 ;
(2)求證:平面 平面 .
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