【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的焦點為F1 , F2 , 離心率為 ,點P為其上動點,且三角形PF1F2的面積最大值為 ,O為坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點M,N為C上的兩個動點,求常數(shù)m,使 =m時,點O到直線MN的距離為定值,求這個定值.
【答案】
(1)
解:由題意可知橢圓的離心率e= = ,則a=2c,
當(dāng)P位于短軸的端點時,△PF1F2的面積最大,即 ×2c×b= ,bc= ,
由a2=b2+c2,則a=2,b= ,c=1,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(2)
解:設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2), =x1x2+y1y2=m,
當(dāng)直線MN到斜率存在時,設(shè)其方程:y=kx+b,
則點O到直線MN的距離d= ,
則 ,整理得:(4k2+3)x2+8kbx+4b2﹣12=0,
由△>0,整理得:4k2﹣b2+3>0,
由x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
則x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=(k2+1)x1x2+kb(x1+x2)+b2=m,
整理得:7× =12+ ,為常數(shù),則m=0,d= = ,
此時7× =12,滿足△>0,
當(dāng)MN⊥x軸時,m=0,整理得kOM=±1,
,則x2= ,
則d=丨x丨= ,亦成立,
綜上可知:m=0,d=
【解析】(1)由題意可知:由橢圓的離心率e= ,則a=2c,當(dāng)P位于短軸的端點時,△PF1F2的面積最大,在bc= 及a2=b2+c2 , 即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程;(2)分類討論,當(dāng)直線MN的斜率存在時,設(shè)其方程,代入橢圓方程,根據(jù)點到直線的距離公式,韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,要使7× =12+ ,為常數(shù),則m=0,d= = ,當(dāng)直線的斜率不存在時,d=丨x丨= ,亦成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1),a∈R.
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證:f(x2)≥( ﹣1)x2 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足條件f(0)=1,及f(x+1)﹣f(x)=2x.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)在區(qū)間[﹣1,1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+m的圖象上方,試確定實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解本校學(xué)生的身體素質(zhì)情況,決定在全校的1000名男生和800名女生中按分層抽樣的方法抽取45名學(xué)生對他們課余參加體育鍛煉時間進(jìn)行問卷調(diào)查,將學(xué)生課余參加體育鍛煉時間的情況分三類:A類(課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時間超過3小時),B類(課余參加體育鍛煉但平均每周參加體育鍛煉的時間不超過3小時),C類(課余不參加體育鍛煉),調(diào)查結(jié)果如表:
A類 | B類 | C類 | |
男生 | 18 | x | 3 |
女生 | 10 | 8 | y |
(1)求出表中x、y的值;
(2)根據(jù)表格統(tǒng)計數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時間超過3小時與性別有關(guān);
男生 | 女生 | 總計 | |
A類 | |||
B類和C類 | |||
總計 |
(3)在抽取的樣本中,從課余不參加體育鍛煉學(xué)生中隨機選取三人進(jìn)一步了解情況,求選取三人中男女都有且男生比女生多的概率. 附:K2=
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.01 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在海岸處發(fā)現(xiàn)北偏東方向,距處海里的處有一艘走私船.在處北偏西方向,距處海里的處的我方緝私船奉命以海里小時的速度追截走私船,此時走私船正以海里小時的速度從處向北偏東方向逃竄.問:緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=sin(2x﹣ )的圖象向左平移 個單位后,得到y(tǒng)=g(x)的圖象,則下列說法錯誤的是( )
A.y=g(x)的最小正周期為π
B.y=g(x)的圖象關(guān)于直線x= 對稱
C.y=g(x)在[﹣ , ]上單調(diào)遞增
D.y=g(x)的圖象關(guān)于點( ,0)對稱
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】楊輝三角,是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列。在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡(1623——1662)是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的,比楊輝要遲年,比賈憲遲年。如圖的表在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了,這又是我國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就。如圖所示,在“楊輝三角”中,從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列:,則此數(shù)列前項和為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電子產(chǎn)品公司前四年的年宣傳費x(單位:千萬元)與年銷售量y(單位:百萬部)的數(shù)據(jù)如下表所示:
x(單位:千萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 |
y(單位:百萬部) | 3 | 5 | 6 | 9 |
可以求y關(guān)于x的線性回歸方程為 =1.9x+1.
參考公式:回歸方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:
= , = ﹣ .
(1)該公司下一年準(zhǔn)備投入10千萬元的宣傳費,根據(jù)所求得的回歸方程預(yù)測下一年的銷售量m:
(2)根據(jù)下表所示五個散點數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程 = x+ .
x(單位:千萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 |
y(單位:百萬部) | 3 | 5 | 6 | 9 | m |
并利用小二乘法的原理說明 = x+ 與 =1.9x+1的關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某生態(tài)園將一塊三角形地ABC的一角APQ開辟為水果園,已知角A為120°,AB,AC的長度均大于200米,現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,在PQ處圍竹籬笆.
(1)若圍墻AP、AQ總長度為200米,如何可使得三角形地塊APQ面積最大?
(2)已知竹籬笆長為 米,AP段圍墻高1米,AQ段圍墻高2米,造價均為每平方米100元,求圍墻總造價的取值范圍.
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