Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F1 ， F2 ， 離心率為 ，點(diǎn)P為其上動(dòng)點(diǎn)，且三角形PF1F2的面積最大值為 ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)M，N為C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求常數(shù)m，使 =m時(shí)，點(diǎn)O到直線MN的距離為定值，求這個(gè)定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知橢圓的離心率e= = ，則a=2c，

當(dāng)P位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，△PF1F2的面積最大，即 ×2c×b= ，bc= ，

由a2=b2+c2，則a=2，b= ，c=1，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）

解：設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2）， =x1x2+y1y2=m，

當(dāng)直線MN到斜率存在時(shí)，設(shè)其方程：y=kx+b，

則點(diǎn)O到直線MN的距離d= ，

則 ，整理得：（4k2+3）x2+8kbx+4b2﹣12=0，

由△＞0，整理得：4k2﹣b2+3＞0，

由x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

則x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=m，

整理得：7× =12+ ，為常數(shù)，則m=0，d= = ，

此時(shí)7× =12，滿足△＞0，

當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，m=0，整理得kOM=±1，

，則x2= ，

則d=丨x丨= ，亦成立，

綜上可知：m=0，d=

【解析】（1）由題意可知：由橢圓的離心率e= ，則a=2c，當(dāng)P位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，△PF1F2的面積最大，在bc= 及a2=b2+c2 ， 即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（2）分類討論，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程，代入橢圓方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，要使7× =12+ ，為常數(shù)，則m=0，d= = ，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，d=丨x丨= ，亦成立．