Question

【題目】對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足：

①在上是單調(diào)函數(shù)；

②當(dāng)定義域是時，的值域也是．

則稱是該函數(shù)的“等域區(qū)間”．

（1）求證：函數(shù)不存在“等域區(qū)間”；

（2）已知函數(shù)（，）有“等域區(qū)間”，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)不存在“等域區(qū)間”；（2）．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集，得或，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，由是已知函數(shù)的“等域區(qū)間”，得無實數(shù)根，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)題意得的同號的相異實數(shù)根，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解實數(shù)的取值范圍．

試題解析：（1）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集．

∵，∴，或，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增．

若是已知函數(shù)的“等域區(qū)間”，則

故、是方程的同號的相異實數(shù)根．

∵無實數(shù)根，

∴函數(shù)不存在“等域區(qū)間”．

（2）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集，

∵，∴或，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增．

若是已知函數(shù)的“等域區(qū)間”，則

故、是方程，即的同號的相異實數(shù)根．

∵，∴，同號，故只需，

解得，

∴實數(shù)的取值范圍為．