Question

7．三角形與四面體有著類似的特征．如圖1，△ABC中，若AD是∠BAC的角平分線，則$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$．依此類比：如圖2，三棱錐S-PQR中，點(diǎn)M在QR上，若二面角Q-SP-M的大小等于二面角R-SP-M的大小，則$\frac{MQ}{MR}$=$\frac{{S}_{△PSQ}}{{S}_{△PSR}}$．

Answer 1

分析 將類比中的情景置于特殊情況之中，據(jù)此得出“類比結(jié)論”，這是解此類問題的常用方法．

解答 解：不妨設(shè)QP=QS，RP=RS，
再取PS的中點(diǎn)N，則QN⊥PS，RN⊥PS，如右圖：
因?yàn)�，△SQR≌△PQR，所以，MP=MS，
所以，MN⊥PS，因此根據(jù)幾何關(guān)系可知，
二面角Q-SP-M的平面角為：∠QNM，
二面角R-SP-M的平面角為：∠RNM，
因?yàn)橐陨蟽蓚�(gè)二面角角的平面相等，即∠QNM=∠RNM，
即NM平分∠QNR，根據(jù)角平分線定理，
$\frac{MQ}{MR}$=$\frac{NQ}{NR}$=$\frac{{S}_{△PSQ}}{{S}_{△PSR}}$，
故可填（答案不唯一）：$\frac{{S}_{△PSQ}}{{S}_{△PSR}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了合情推理中的類比推理，涉及二面角平面的定義和運(yùn)算，猜測與驗(yàn)證，屬于中檔題．